음악, 수학 그리고 물리

음악, 수학 그리고 물리

 

오카리나를 배우다 보니 악보 작성 무른모를 배우게 되고 그 무른 모를 제대로 쓰자면 음악이론을 알아야 한다.

 

그래서 음악이론 기초를 좀 공부하려고 책 두 권을 샀다는 이야기는 지난 포스팅에 이미 이야기했다.

 

그런데 아무래도 그 책들이 시원치 않다.   내가 잘 아는 언어로 좀 읽었으면 했다.  그래서 혹사나 하고 책 4권을 더 샀다.  그러나 혹시나는 역시나 였다.

 

내가 아는 언어?        그것은 몰리와 수학이다.

 

음악이론은 수학과 물리다. 

 

세상의 모든 이론은 물리에 그 바탕으 두고 있다.    우리가 보통 물리와 화학의 법칙(laws of physics and chemistry)이란 말을 흔히 쓰지만 그것은 어디까지나 관례적으로 쓰는 말(영어로 figure of speech) 이지 엄밀하게 말하면 물리의 법칙이다.   화학도 물리로 부터 유도된다.   그러니까 화학의 바탕도 물리가 된다. 

 

그러면 음악은 무엇인가 그 것도 그 바탕은 물리가 된다.  음악을 설명하자면 물리에서 출발한다.     그런데 그 물리가 아직 어둠의 장막에 둘러 싸여 있을 때 수학이 먼저 발달했다.

 

중학생이면 다 들어 보았을 법한 옛 그리스의 수학자 겸 철학자인 피타고라스가 처음으로 음악이론을 창시했다.   그는 수(number) 가 우주의 이치를 다 머금고 있다고 믿었다.  그래서 음악도 그 근본은 수의 이치에서 발견할 수 있다고 믿었다.  아직도 영향력이 지대한 피타고라스의 스케일은 근대 equal temperament 가 자리 잡을 때까지 서양 음악의 스케일과 튜닝의 바탕이 되었다.

 

피타고라스시절에는 진동수와 현의 길이의 관계를 모르고 있었지만 그는 소리의 "진동수" 의 비율에는 간단한 정수가 자리 잡고 있다고 믿었다.   완전 5번이라 부르는 다섯번째의 음조(핏치 pitch) 는 바탕 음과 2:3 의 비율을 갖고 있다고 생각했고  2와 3이란 정수의 비율로 모든 소리의 음조를 나타낼 수 있다고 믿었다.

 

이 이론에 따른 스케일이 피타고라스 스케일이다.

 

지금은 보다 합리적인 equal temperament scale 서양음악의 바탕이 되었는데 이 scale 설명이 음악 이론 책들이 한결 같이 "헤매고" 있다.    왜? 음악하는 사람에게 지수함수를 설명하기 쉽지 않아서다.  그것도  정수가 아닌 분수를 인수로 하는 지수함수를 가르치기가 쉽지 않아서 간단한 이치를 설명하는데 엄청 끙끙댄다.

 

우리가  한 옥타브라 부르는 음의 간격은 진동수의 배수가 된다.   그런데 두 옥타브의 진동수는 3배가 아니라 4배 3옥타브는 4배가 아니라 8배로 지수적으로 증가한다.   귀의 구조가 그렇게 받아 들인다.  

 

귀가 어떻게 소리를 받아 들여 그것을 뇌의 신경이 전달하는지 아직 그 기제가 완전히 밝혀지지 않았지만 귀의 구조상 우리가 느끼는 옥타브라는 음의 높낮이의 감각이 지수적으로 변한다.  그러니까 한 옥타브안의 음계를 반음 2 온음 5개의 간격이 있는데 온음을 반으로 쪼개어 반음을 만들면 10개의 음계가 있고 반음 2개 함치면 12 개가 된다.  한 옥타브를 지수적으로 12등분하면 각 음조의 진동수는

 

f(x) = f0 x 2^(x/12)

 

위에서 " ^ 은 지수 (exponent) 를 말한다.    f0는 기준 진동수다.    단 하나의 음조 f0 =   f(A4) = 440 Hz   로 기준으로 하면 모든 음조의 진동수를 알 수 있다.    12개로 균등하게 나우었다는 것은 선형적이 아니라 exponential 을 말한다.

 

위의 함수에 x가 12면  한 옥타브 위의 음은 진동수가 2배가 되고 2 옥타브 즉 24를 대입하면 2옥타브위의 음의 진동수는 4배 3옥타브 위의 음은 x=36을 대입하면 8배가 된다. 

 

내가 산 6권의 음악이론 책에서는 이렇게 간명한 이론을 이해 할 수 없었다.

 

Physics of Music 이라는 사이트에서 비로소 이해할 수 있었다.

 

이 홈피는 미시간 테크 물리학과에서 만든 것이다.     6권의 음악이론책은 날 가르쳐 주질 못했다.

 

http://www.phy.mtu.edu/~suits/Physicsofmusic.html

 

아래의 표는 이 홈피에서배껴운 각 음조의 진동수 표다.

Note	Frequency (Hz)	Wavelength (cm)
C0	16.35	2100.
C#0/Db0	17.32	1990.
D0	18.35	1870.
D#0/Eb0	19.45	1770.
E0	20.60	1670.
F0	21.83	1580.
F#0/Gb0	23.12	1490.
G0	24.50	1400.
G#0/Ab0	25.96	1320.
A0	27.50	1250.
A#0/Bb0	29.14	1180.
B0	30.87	1110.
C1	32.70	1050.
C#1/Db1	34.65	996.
D1	36.71	940.
D#1/Eb1	38.89	887.
E1	41.20	837.
F1	43.65	790.
F#1/Gb1	46.25	746.
G1	49.00	704.
G#1/Ab1	51.91	665.
A1	55.00	627.
A#1/Bb1	58.27	592.
B1	61.74	559.
C2	65.41	527.
C#2/Db2	69.30	498.
D2	73.42	470.
D#2/Eb2	77.78	444.
E2	82.41	419.
F2	87.31	395.
F#2/Gb2	92.50	373.
G2	98.00	352.
G#2/Ab2	103.83	332.
A2	110.00	314.
A#2/Bb2	116.54	296.
B2	123.47	279.
C3	130.81	264.
C#3/Db3	138.59	249.
D3	146.83	235.
D#3/Eb3	155.56	222.
E3	164.81	209.
F3	174.61	198.
F#3/Gb3	185.00	186.
G3	196.00	176.
G#3/Ab3	207.65	166.
A3	220.00	157.
A#3/Bb3	233.08	148.
B3	246.94	140.
C4	261.63	132.
C#4/Db4	277.18	124.
D4	293.66	117.
D#4/Eb4	311.13	111.
E4	329.63	105.
F4	349.23	98.8
F#4/Gb4	369.99	93.2
G4	392.00	88.0
G#4/Ab4	415.30	83.1
A4	440.00	78.4
A#4/Bb4	466.16	74.0
B4	493.88	69.9
C5	523.25	65.9
C#5/Db5	554.37	62.2
D5	587.33	58.7
D#5/Eb5	622.25	55.4
E5	659.26	52.3
F5	698.46	49.4
F#5/Gb5	739.99	46.6
G5	783.99	44.0
G#5/Ab5	830.61	41.5
A5	880.00	39.2
A#5/Bb5	932.33	37.0
B5	987.77	34.9
C6	1046.50	33.0
C#6/Db6	1108.73	31.1
D6	1174.66	29.4
D#6/Eb6	1244.51	27.7
E6	1318.51	26.2
F6	1396.91	24.7
F#6/Gb6	1479.98	23.3
G6	1567.98	22.0
G#6/Ab6	1661.22	20.8
A6	1760.00	19.6
A#6/Bb6	1864.66	18.5
B6	1975.53	17.5
C7	2093.00	16.5
C#7/Db7	2217.46	15.6
D7	2349.32	14.7
D#7/Eb7	2489.02	13.9
E7	2637.02	13.1
F7	2793.83	12.3
F#7/Gb7	2959.96	11.7
G7	3135.96	11.0
G#7/Ab7	3322.44	10.4
A7	3520.00	9.8
A#7/Bb7	3729.31	9.3
B7	3951.07	8.7
C8	4186.01	8.2
C#8/Db8	4434.92	7.8
D8	4698.64	7.3
D#8/Eb8	4978.03	6.9

 

역시 내가 아는 언어가 최고다.

 

 

아마존 Kindle Store 에서 내가 산 음악이론책들

 

이 책은 NWC 사용하는 용어정도 익히는데 쓸 만하다.

 

 

이 것은 아이들을 위한 책

 

 

 

이 건 본격적인 음악과 수학을 접목시킨 책이다.

참고 문헌으로 쓸 만 하다.

여기서 뭘 배우기는 어려울 듯

 

 

 

이 책은 음악의 물리 이론의 고전

아마존에서 안 사도 무료로 다운 받을 수 있는 저작권이 소면멸된 아주 오래 된 책이다.